ОД.0 Информатика: Основные законы алгебры логики: Изучаем

Изучаем

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул путём использования основных законов алгебры логики.

Любой закон логики представляет собой схему правильного рассуждения — формулу, дающую истинное высказывание при любой подстановке в неё конкретных (истинных или ложных) высказываний. Такая всегда истинная формула называется тавтологией. Понятие закона логики совпадает с понятием тавтологии.

Первые три закона логики были сформулированы ещё великим древнегреческим философом Аристотелем.

Законы логики Аристотеля

Закон противоречия (или закон непротиворечия):
Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если высказывание $A$ — истинно, то его отрицание не $A$ должно быть ложным (и наоборот)
Закон противоречия можно представить в виде формулы: $A & \bar{A} = 0$ .
Закон тождества означает, что из двух противоречащих друг другу высказываний одно должно быть ложным.
Примером нарушения закона противоречия является поэзия нонсенса:
Дело было в январе, пятого апреля,
Сухо было во дворе, грязи по-колено.
Шёл высокий гражданин, маленького роста,
Весь кудрявый, без волос,
Тоненький, как бочка.
Нёс в руке толстенный том, ровно два листочка.
(Детский стишок, автор неизвестен)
Закон исключённого третьего:
Из двух противоположных утверждений одно верно, а другое ложно; третьего не дано (по латыни tertium non datur).
Закон исключённого третьего можно представить в виде формулы: $\bar{A} \lor A = 1$ .
Закон тождества означает, что в один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.
Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жёсткой ситуацией: «либо — либо», «истина — ложь». Там же, где встречается неопределённость (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применён.
Примером, где нарушается закон исключённого третьего является задача о парикмахере (парадокс): «В одном городе парикмахер стрижёт волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру?»
Закон тождества:
Предмет суждения должен оставаться тождественным самому себе в этом суждении.
Закон тождества можно представить в виде формулы:
$A \equiv A$ .
Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
Примером нарушения закона тождества является использование каламбуров: история Черепахи Квази, рассказанная Алисе в сказке «Алиса в Стране Чудес» Льюиса Кэрролла: «Когда-то я был настоящей Черепахой. Когда мы были маленькие, мы ходили в школу на дне моря. Учителем у нас был старик — Черепаха. Мы звали его Спрутиком (потому, что он всегда ходил с прутиком)».