ОД.0 Информатика: Диаграммы Эйлера – Венна: Изучаем

Изучаем

В курсе Информатики и ИКТ рассматривается такая тема как «Поиск информации в Интернет». При решении определенного типа задач на эту тему удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера — Венна).

Из курса математики нам известно, что рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Лейбниц использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями. Затем этот метод развил Леонард Эйлер.

Диаграммы Эйлера — Венна используются, прежде всего, в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств.

Давайте проведём аналогию между хорошо нам известной из математики теорией множеств и логическими операциями, т. е. к логике высказываний применим математический аппарат.

Конъюнкция

Пересечением двух множеств $X$ и $Y$ называется множество их общих элементов.

Пусть множество $A$ состоят из букв: $A = {ш, к, о, л, а} .$
Пусть множество $B$ состоят из букв: $B = {д, о, м} .$
Эти множества имеют общий элемент: о.
$A \cap B = {о} .$
С помощью диаграммы Эйлера — Венна можно графически изобразить множество $A \cap B .$

$A \cap B .$

Каждая из букв {ш, к, о, л, а, м, и, р } является или элементом множества

A

или элементом множества

B .

Логическая связка «ИЛИ»!
Дизъюнкция (логическое сложение):

A \lor B .

Рассмотрим таблицу истинности:

Действительно, закрашенными получаются все три области на диаграмме, которые соответствует логической единице (истине) в выходном столбце таблицы истинности.

Инверсия

В теории множеств логическому отрицанию (инверсии) соответствует операция дополнения к множеству.

Дополнение имеет смысл не для всех множеств, а только тогда, когда второе множество является подмножеством первого.

Рассмотрим частный случай. Пусть множество $B$ является подмножеством множества $A .$ Дополнением $B$ до $A$ называется множество, состоящее из тех элементов $A$ , которые не вошли в $В .$

Пусть множество $A$ состоит из чисел: $A = {1, 3, 5, 7, 11, 13} .$

Пусть множество $B$ состоит из чисел: $B = {1, 3, 5}$

Дополнение $B$ до $A$ обозначают $\neg B : \neg B = {7, 11, 13} .$

Рассмотрим общий случай: дополнение некоторого множества $A$ до универсального множества $U$ (на диаграмме прямоугольная область). Например, если $A$ — это множество точек, принадлежащих некоторому отрезку, то его дополнением $\neg A$ до универсального множества $U$ , которым в данном случае является множество всех точек числовой прямой, является множество точек, не принадлежащих данному отрезку.

Теперь попробуем разобраться с логической операцией «инверсией», которая является аналогом дополнения в теории множеств.

На диаграмме прямоугольник — это «универсум рассуждения». Переменная $A$ обозначается кругом внутри прямоугольника. Область внутри прямоугольника за пределами круга является дополнением к $A$ и обозначается как $\neg A .$

Пусть переменная $A$ — это «сладкие яблоки». Тогда $\neg A$ — это «НЕсладкие яблоки», т. е. любые другие, лишь бы не сладкие. Вместе — «сладкие яблоки» $+$ «НЕсладкие яблоки» $=$ «яблоки» — это родовое понятие, т. е. $A + \neg A \equiv 1.$

Рассмотрим таблицу истинности:

Высказывание $\neg A$ истинно тогда, когда высказывание $A$ ложно. Следовательно, внутри круга $A$ не должно быть закрашено, а за его границами внутри «универсума рассуждения» должно быть закрашено.

Импликация

В теории множеств соответствующей операции нет. Изобразим импликацию с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

Рассмотрим таблицу истинности:

Значение импликации равно «истина» в трёх случаях $(00, 01 и 11) .$ Закрасим последовательно три области, в которых значения $A \to B$ равно $1$ :
1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям $A = 0, B = 0;$
2) область, относящуюся только к кругу $B$ (полумесяц), которая соответствует значениям $A = 0, B = 1;$
3) область, относящуюся и к кругу $A$ и к кругу $B$ (пересечение) — соответствует значениям $A = 1, B = 1.$

Объединение этих трёх областей и будет графическим представлением логической операции импликации.

Эквивалентность

В теории множеств соответствующей операции нет. Отобразим эквивалентность с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

Рассмотрим таблицу истинности:

Значение эквивалентности равно «истина» в двух случаях $(00$ и $11) .$ Закрасим последовательно две области, в которых значения $A \leftrightarrow B$ равно $1$ :
1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям $A = 0, B = 0;$
2) область, относящуюся и к кругу $A$ и к кругу $B$ (пересечение) — соответствует значениям $A = 1, B = 1.$

Объединение этих двух областей и будет графическим представлением логической операции эквивалентности.